Метод координат в пространстве
рис. 69 | Если через некоторую точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление (оно обозначается стрелкой) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве. Ох, Оу, Оz - оси абсцисс, ординат и аппликат. Координаты точки М записываются так: М (х; у; z). |
рис. 70 | Зададим в пространстве прямоугольную систему координат Оxyz. На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичные векторы (длины которых равны единице): . Эти векторы назовем координатными векторами, они не компланарны. Поэтому любой вектор а можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде: причем коэффициенты разложения х, у, z определяются единственным образом. |
Коэффициенты x, y и z в разложении называются координатами вектора в данной системе координат.
Координаты вектора будем записывать в фигурных скобках после обозначения вектора:
Координаты равных векторов равны.
Правила действия над векторами.
- Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Если + = , то {x1+x2; y1+y2; z1+z2}; где {x1; y1; z1},
{x2; y2; z2}. - Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов. Если - = , то {x1-x2; y1-y2; z1-z2}.
- Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. Если k = , то {kx1; ky1; kz1}.
Координаты любой точки D в прямоугольной системе координат Оxyz равны соответствующим координатам вектора .
Т.о. если A(x; y; z), то {x ; y ; z}.
А т.к. = - , то каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.
Простейшие задачи в координатах.
- Координаты середины отрезка.
рис. 71
Таким образом, каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов. - Вычисление длины вектора по его координатам.
- Расстояние между двумя точками. M1{x1; y1; z1}, M2(x2; y2; z2), тогда
Последнее изменение: воскресенье, 3 Май 2020, 00:19